حل معادله,دیفرانسیل, با مشتقات, جزئی از ,نوع بیضوی

بخشی از مطلب
هنگامی که یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیضوی گسسته می شود، نتیجه مستقیم آن یک دستگاه معادله جبری خطی می باشد.روشهای عددی متفاوتی برای برخورد با دستگاه معادلات تفاضل محدود حاصل از معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیضوی وجود دارد.
در این متن حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از نوع بیضوی را مورد بررسی قرار می دهیم. یک معادله بیضوی معمولا در مسایل فیزیکی که شامل یک سیستم در حال تعادل می باشد ایجاد می شود. بنابراین متغیر زمان وجود ندارد و در این مسایل پایداری روش تفاضلی نقش اساسی را بازی نمی کند.


1- توزیع دما در میله
میله ای با طول L ، و سطح مقطع یکنواخت که دمای دو سر انتهایی آن به ترتیب TL و TR در سمت چپ و راست می باشد را در نظر بگیرید با تمرکز بر یک المان به طول dx کهب ه فاصله x از انتهای سمت چپ میله واقع شده می توانیم معادلات توزیع دما را پایه ریزی نمائیم .
تمام سطح پیرامونی میله عایق بندی شده می باشد به نحوی که انتقال حرارت تنها در راستای میله انجام می پذیرد .
طبق قوانین حاکم بر انتقال حرارت هدایت می دانیم که نرخ گرما متناسب است با سطح مقطع (A) ضر یب رسانش (k) ، و همچنین گرادیان دما ، بنابراین نرخ انتقال حرارت ورودی به المان در طول x برابر است با

نرخ گرمای خروجی از المان هم به طور مشابه به دست می آید ، تنها تفاوت این است که گرادیان دما مربوط است به نقطه x + dx که این گرادیان مجموع گرادیان دما در نقطه x به اضافه ی تغییر گرادیان بین x و x + dx می باشد .
و....